Angestellter Geschäftsführer ohne Verankerung in der Satzung

Mein Verein hat (seit vielen Jahren) einen festangestellten Geschäftsführer. In der Satzung gibt es keinerlei (!) Legitimation für die Bestellung eines GF.

Der Vorstand steht auf dem Standpunkt, seine Befugnisse und ureigensten Aufgaben (Vertretung des Vereins) auf diesen GF übertragen zu können. Der GF meint, der Vorstand habe ihn per Beschluss des Vorstandes ermächtigt, die Arbeitgeberrolle wahrzunehmen, intern und extern. Was kann/sollte ich als einfaches Vereinsmitglied beitragen, damit das Ganze auf rechtlich sichere Füße kommt?

Was passiert, wenn dieser GF einem Mitarbeiter kündigt (Das Kündigungsschreiben trägt nur die Unterschrift des GF, Vollmacht ist nicht beigefügt? Kann so etwas wirksam sein?)

Die von ihnen geschilderte Sachlage ist recht komplex wir können Ihnen auf der Basis der wenigen Informationen nur grundsätzliche (und nicht rechtssichere) Antworten geben.
Wenn wie von Ihnen geschildert, die Satzung keine Bestimmung etwa in dem Sinne "Der Vorstand kann für die Geschäfte der laufenden Verwaltung einen Geschäftsführer (besonderen Vertreter nach § 30 BGB) bestellen. Dieser ist berechtigt, an den Sitzungen des Vorstandes mit beratender Stimme teilzunehmen" enthält, dann fehlt in der Tat die rechtliche Grundlage und die Bestellung eines Geschäftsführers ist unzulässig und unwirksam.
Selbst wenn der Vorstand davon ausgeht, dass er für die Geschäftsführung zu Recht Hilfspersonen für einzelne Tätigkeitsbereiche beauftragen kann, darf er die Geschäftsführung nicht allgemein übertragen (insbesondere in der Rolle des Vereins als Arbeitgeber) ohne entsprechende Regelung in der Satzung und ohne den entsprechenden Beschluss der Mitgliederversammlung.
Eine Kündigung seitens des Geschäftsführers (ohne Unterschrift) des Vorstands hätte arbeitsrechtlich sicher keinen Bestand. Sollte allerdings über ein Arbeitsgerichtsverfahren oder andere rechtliche Überprüfungen die satzungswidrige Konstruktion der Geschäftsführung gerichtsnotorisch werden, könnten dem Verein (und haftungsrechtlich auch dem Vorstand) erhebliche Folgen drohen, nicht zuletzt auch finanzielle, etwa durch die Aberkennung der Gemeinnützigkeit und entsprechende rückwirkende Steuerforderungen.
Als "einfaches" Mitglied sollten Sie (eventuell gemeinsam mit anderen Mitgliedern) den Vorstand oder zumindest aufgeschlossene Personen im Vorstand an diese Risiken, ihre Verantwortung gegenüber dem Verein (aber auch in der persönlichen Haftung) und die Notwendigkeit erinnern, diese Art der Geschäftsführung, über eine (von der MV beschlossene) Satzungsänderung (und die Eintragung in das Vereinsregister !) auf eine rechtssichere Grundlage zu stellen.